漸化式
1、3、5、7、と続く数がある。この先がどうなるのかは簡単に予測が付く。
さて、1、3、7、13、と続く数がある。この先がどうなるのかは難しい。これを探る方法がある。
- a1=1
- a2=3
- a3=7
- a4=13
anを、nを使った式で表すことができればよい。
- bn=an+1-an
とする。隣り合った数の差を調べるのである。
- b1=2
- b2=4
- b3=6
- b4=8
bnが次のように表されることはすぐ分かるだろう。
- bn=2n
b1からbnまでの和を計算すると、
- Σbk=2Σk=2*(n*(n+1)/2)=n*(n+1)
となる(「n項までの和を求める」を参照)。一方、
- b1=a2-a1
- b2=a3-a2
- b3=a4-a3
- bn=an+1-an
としたときの右辺の和を計算すると、
- an+1-a1=an+1-1
となる。つまり、
- an+1=n*(n+1)+1
したがって、
- an=(n-1)*n+1
- an=n2-n+1
となる。
次の問題。
- a1=1
- a2=3
- a3=7
- a4=15
- a5=31
- bn=an+1-an
とすると、
- b1=2
- b2=4
- b3=8
- b4=16
となるので、
- bn=2n
となることは明らか。b1からbnまでの和を計算すると、
- Σbk=Σ2k=2n+1-2
となる(「2のn乗までの和」を参照)。一方、
- b1=a2-a1
- b2=a3-a2
- b3=a4-a3
- bn=an+1-an
としたときの右辺の和を計算すると、
- Σbk=an+1-a1=an+1-1
したがって、
- an+1-1=2n+1-2
- an+1=2n+1-2+1
- an+1=2n+1-1
- an=2n-1
[ 2014年10月10日 | カテゴリー: 豆知識 | タグ: chidori , 数学 ]
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