漸化式

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1、3、5、7、と続く数がある。この先がどうなるのかは簡単に予測が付く。
さて、1、3、7、13、と続く数がある。この先がどうなるのかは難しい。これを探る方法がある。

  • a1=1
  • a2=3
  • a3=7
  • a4=13

anを、nを使った式で表すことができればよい。

  • bn=an+1-an

とする。隣り合った数の差を調べるのである。

  • b1=2
  • b2=4
  • b3=6
  • b4=8

bnが次のように表されることはすぐ分かるだろう。

  • bn=2n

b1からbnまでの和を計算すると、

  • Σbk=2Σk=2*(n*(n+1)/2)=n*(n+1)

となる(「n項までの和を求める」を参照)。一方、

  • b1=a2-a1
  • b2=a3-a2
  • b3=a4-a3
  • bn=an+1-an

としたときの右辺の和を計算すると、

  • an+1-a1=an+1-1

となる。つまり、

  • an+1=n*(n+1)+1

したがって、

  • an=(n-1)*n+1
  • an=n2-n+1

となる。

次の問題。

  • a1=1
  • a2=3
  • a3=7
  • a4=15
  • a5=31
  • bn=an+1-an

とすると、

  • b1=2
  • b2=4
  • b3=8
  • b4=16

となるので、

  • bn=2n

となることは明らか。b1からbnまでの和を計算すると、

  • Σbk=Σ2k=2n+1-2

となる(「2のn乗までの和」を参照)。一方、

  • b1=a2-a1
  • b2=a3-a2
  • b3=a4-a3
  • bn=an+1-an

としたときの右辺の和を計算すると、

  • Σbk=an+1-a1=an+1-1

したがって、

  • an+1-1=2n+1-2
  • an+1=2n+1-2+1
  • an+1=2n+1-1
  • an=2n-1

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[ 2014年10月10日 | カテゴリー: 豆知識 | タグ: , ]

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