本を開いたときの小口の傾きは厚い本と薄い本ではどちらが大きいか
本は、言ってみれば、直方体である。したがって6面を持つ。表紙、背表紙、裏表紙がまず3面。残りの3面、ページの切り口がある面を小口(こぐち)という。上・下を天・地、背の反対のところを前小口といい、小口といえば、普通、前小口を指す。
さて、この前小口だが、少し厚みのある本を開き、背がぴったりと机に付くようにしてやると、前小口の部分が坂のように傾くだろう。この傾きは、本の厚さによってどう変わるだろうか。
AFのところが本の背に当たる。表紙はDFのところである。ACは字の書いてあるページの部分にあたる。CDのところが小口である。今、角CDEをθとしているが、CDが直線となるかどうかもはっきりしないのに、角CDEなどを考えてしまっているのはまずいかもしれない。点Cと点Dを結ぶ直線を考えれば、実際に小口が直線なのかどうかは関係ない。
ACのページの幅とDFの表紙の幅は同じである。したがって、AB+BC=DE+EF。BC=EFであるから、DE=ABとなる。
本の厚みに当たるBFはもちろんCEと同じ長さであるし、本の背の部分とも同じ長さになる。したがって、BF=CE=AF。この長さをaとする。
さて、ABは90度の扇型の弧に当たるので、AB=2π×AF÷4=πa/2。
DEとCEの比を求めると、DE/CE=AB/CE=(πa/2)/a=π/2。これは定数である。DEとCEの比は一定、つまり角θは一定ということになる。
本の厚さに関わらず、本の大きさに関わらず、常に小口の傾きは同じであるということである。
tanθ=π/2となるθは約32.5度である。CDが直線となるかどうかははっきりしないと先に書いたが、実際には直線になる。
[ 2014年10月10日 | カテゴリー: 豆知識 | タグ: chidori , 数学 ]
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