n項までの和を求める

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1+2+3+…+n
という式がある。「1からnまでの和」である。Σという記号を使って、次のように表すことにする。
Σk = 1 + 2 + 3 + … + n
kに1からnまでの数を当てはめて、それらの和を計算するという意味である。だから、Σ2kと書くと、次のような意味になる。
Σ2k = 2 + 4 + 6 + … + 2n
同様にΣk3、Σ1/kはそれぞれ、
Σk3 = 13 + 23 + 33 + … + n3
Σ1/k = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n
という意味である。

ところで、1+2+3+…+nは実際、どんな式で表されるだろう。
S=1+2+3+…+nとする。普通、こういうときは、Sを使う。なぜかというと、sumに合計という意味があるからだ。

さて、1+2+3も3+2+1も同じになるので、次のように計算することができる。
S= 1 + 2 + 3 + … + n-2 + n-1 + n
S= n + n-1 + n-2 + … + 3 + 2 + 1

両辺同士を足し合わせると、
2S = 1+n + 2+n-1 + 3+n-2 + … + n+1 = 1+n + 1+n + 1+n + … + 1+n

右辺は1+nがn個集まっている。つまり右辺=(1+n)*n=n(n+1)
したがって、S=n(n+1)/2
たとえば1から10までの数の和を知りたければ、この式のnに10を代入すればよい。10*(10+1)/2=55となる。
1から100までの数の和は、100*(100+1)/2=5050となる。くれぐれも550ではないことに注意。

さて、こんな問題がある。
12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6を示せ。

証明は次の通りである。
(1+k)3=1+3k+3k2+k3である。このkに1からnまで代入してみると

k=1 23=1+3*1+3*12+13
k=2 33=1+3*2+3*22+23
k=3 43=1+3*3+3*32+33
k=n (1+n)3=1+3*n+3*n2+n3 (+
(1+n)3=n+3Σk+3Σk2+1

左辺と次の段の右辺第4項が等しいので消しあうことに注意。
Σk=n(n+1)/2は既知のものとして変形すると
3Σk2=(1+n)3-n-3n(n+1)/2-1
簡単のため両辺に2をかけると

6Σk2 =2(1+n)3-2n-3n(n+1)-2
=2+6n+6n2+2n3-2n-3n2-3n-2
=2n3+3n2+n
=n(n+1)(2n+1)

よって示された。

もしΣk3 がどうなるかを求めたければ(1+n)4を計算して上と同様な方法を使えばよい。

一般に、この方法を用いれば次数がどんなに大きな整数であっても帰納的にその和を求めることができる。

[ 2014年10月10日 | カテゴリー: 豆知識 | タグ: , ]

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コメント

  1. […] となる(「n項までの和を求める」を参照)。一方、 […]

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