1から666までの和は222111

1から6までの和は21になります。
1から66までの和は2211になります。
このようにして「1」から「6が並んだ数」までの和を求めると次のようになります。

1+2+3+…+6=21
1+2+3+…+66=2211
1+2+3+…+666=222111
1+2+3+…+6666=22221111
1+2+3+…+66666=2222211111
1+2+3+…+666666=222222111111
1+2+3+…+6666666=22222221111111

「1」から「6がn個並んだ数」までの和は「2がn個並んだ数」と「1がn個並んだ数」が並んだ数となります。
「1がn個並んだ数」を「f(n)」と表わすと

と表わせます。
これを証明します。

まず、f(n)がnを使った式で表わせることを示します。
例えば
f(5)=11111=99999/9=(100000-1)/9
となることから分かるように
f(n)=(10^n-1)/9
と表わせます。

また、1からxまでの和が
(1+x)*x/2
となることから
左辺=(1+6*f(n)) * 6*f(n) /2
となります。

左辺-右辺を計算し、これがゼロになれば、左辺=右辺であることが分かります。

左辺-右辺
={(1+6*f(n))*6*f(n)/2}-{2*f(n)*10^n+f(n)}
=(1+6*f(n))*3*f(n)-2*f(n)*10^n-f(n)
=3*f(n)+18*f(n)^2-2*f(n)*10^n-f(n)
=2*f(n)+18*f(n)^2-2*f(n)*10^n
=2*f(n)*(1+9*f(n)-10^n)

ここで「f(n)=(10^n-1)/9」であることから
=2*f(n)*(1+9*(10^n-1)/9-10^n)
=2*f(n)*(1+10^n-1-10^n)
=2*f(n)*0
=0
すなわち左辺=右辺となります。