正方形の数を数える

同じ大きさの正方形が縦に4個、横に3個並んでいます。
この中に正方形は何個あるでしょうか。

1辺が1(面積1)の正方形
縦に4個、横に3個あるので、4*3=12

1辺が2(面積4)の正方形
縦に3個、横に2個あるので、3*2=6

1辺が3(面積9)の正方形
縦に2個、横に1個あるので、2*1=2

合計で12+6+2=20

答 20個

一般化してみます。
1辺が1の正方形が、縦にx個、横にy個並んでいるとします。x≧yとします。
N=x*y+(x-1)*(y-1)+(x-2)*(y-2)+…+(x-y+1)*1

解法は省略しますが、さらに次のように書けます。
N=x*(y^2+y)/2-(y^3-y)/6=y*(y+1)*(3x-y+1)/6

次はその一覧です。