正方形の数を数える

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同じ大きさの正方形が縦に4個、横に3個並んでいます。
この中に正方形は何個あるでしょうか。

1辺が1(面積1)の正方形
縦に4個、横に3個あるので、4*3=12

1辺が2(面積4)の正方形
縦に3個、横に2個あるので、3*2=6

1辺が3(面積9)の正方形
縦に2個、横に1個あるので、2*1=2

合計で12+6+2=20

答 20個

一般化してみます。
1辺が1の正方形が、縦にx個、横にy個並んでいるとします。x≧yとします。
N=x*y+(x-1)*(y-1)+(x-2)*(y-2)+…+(x-y+1)*1

解法は省略しますが、さらに次のように書けます。
N=x*(y^2+y)/2-(y^3-y)/6=y*(y+1)*(3x-y+1)/6

次はその一覧です。

縦(x)\横(y) 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 5 8 11 14 17
3 3 8 14 20 26 32
4 4 11 20 30 40 50
5 5 14 26 40 55 70
6 6 17 32 50 70 91
7 7 20 38 60 85 112
8 8 23 44 70 100 133
9 9 26 50 80 115 154
10 10 29 56 90 130 175

[ 2010年9月27日 | カテゴリー: 小ネタ | タグ: , ]

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コメント

  1. hirono より:

    最後の式ですが
    N=x*(y^2+y)/2-(y^3-y)/6=y*(y+1)*(3x-y+1)/6
    ではないでしょうか?

  2. stabucky より:

    hironoさん
    ご指摘の通りです。ケアレスミスをしていました。すぐに修正します。
    ありがとうございました。

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