nの階乗で0が15個続く最小のn

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先日、ビートたけしの「コマ大」でこんな問題がありました。

n!(nの階乗)で末尾の0が15個続く最小のnを求めよ

最初に末尾に0が出てくるのは次の場合。
5!=1 * 2 * 3 * 2*2 * 5 =120
つまり「素因数分解したときに2と5が一組出てくる度に10倍となって末尾に0が付く」と考えられます。
2と5だと5の方が少ないですから5が出てくる回数を数えればよいことになります。

5!=4!*5=24*5=120
10!=9!*10=362880*10=1814400
15!=14!*15=87178291200*15=1307674368000

このように5の倍数の階乗を求めるときに末尾の0が一つ増えます。

25と50のときは5が2回、出てくる(一気に2個増える)ことに注意して順番に数えると次のようになります。

0の個数 n
1 5
2 10
3 15
4 20
6 25
7 30
8 35
9 40
10 45
12 50
13 55
14 60
15 65

最後に65!までのそれそれの計算結果を挙げておきます。

[ 2011年10月3日 | カテゴリー: 豆知識 | タグ: , , ]

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