100の階乗の末尾の0は何個か

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5の階乗は、5*4*3*2*1ですので、120です。
末尾の0は1個です。
では次の問題について考えてみます。

100の階乗の末尾の0は何個か

実際に階乗を計算して数えればいいのですが難しいです。

その前に10の階乗について考えます。
10の階乗は、3628800です。
末尾の0は2個です。

10の階乗を素因数分解してみます。
10
=10*9*8*7*6*5*4*3*2*1
= 2*5 * 3*3 * 2*2*2 * 7 * 2*3 * 5 * 2*2 * 3 * 2 * 1

末尾に0が生じるのは素因数に2と5が一つずつ登場した場合です。
2は頻繁に登場するので5が登場する場合を考えればよいです。
つまり5の倍数をかけたときに末尾に0が生じます。

さて100の階乗に戻ります。
5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100をかけたときに末尾に0が生じます。
100÷5=20ということで20個と考えられます。
しかし25,50,75,100については25の倍数なので5が2回登場します。これで4回分上乗せ。
ということで、全部で24個になります。

実際に計算してみると100の階乗は
9332621544394415268169923885626670049071
5968264381621468592963895217599993229915
6089414639761565182862536979208272237582
51185210916864000000000000000000000000
となります。

[ 2013年1月12日 | カテゴリー: 豆知識 | タグ: , ]

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