四角錐の体積
先に公式を書く。
錐の体積=底面積×高さ×1/3
底面積×高さだけならば直方体の体積であるから、同じ底面積で同じ高さの四角錐と直方体の比が1/3であることを調べればよい。
簡単のために縦、横、高さが等しい立方体で考える。
上から1段目が1個のサイコロ、2段目が4個のサイコロ、3段目が9個のサイコロ、というように積み上げた立体を考える。
変形しているがこれをピラミッドと呼ぶ。
段を増やしていけば、これが四角錐に似た立体になる。下は5段の場合。
同じ段数の立方体の体積とピラミッドの体積を比較すればよい。
1段目 1個
2段目 1個＋4個＝5個
3段目 1個＋4個＋9個＝14個
4段目 1個＋4個＋9個＋16個＝30個
つまり二乗の和となる。
n段目 1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2
二乗の和は次のように表される。
二乗の和 | あくまで辞典
n段のピラミッド=
一方、立方体は3乗すればよい。
n段の立方体=n^3
ここで比を考える。
ピラミッド/立方体=
nを無限大にするとピラミッド/立方体は1/3に近付く。
[ 2012年1月13日 | カテゴリー: 小ネタ | タグ: 体積 , 公式 , 数学 ]
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