100!までの階乗の積を50!で割った数が平方数になる理由

小ネタ

今回は、「1! × 2! × 3! × … × 98! × 99! × 100! を 50! で割った数が平方数(自然数の2乗で表される数)になる」という興味深い数学的事実について説明します。

まず、問題を単純化するために、50!で割ることは一旦置いておき、1!から100!までの積を考えてみましょう。

1. 同じ数の積は平方数になる

この性質を利用して、同じ数を2個ずつペアにして考えていきます。

2. 奇数の分析
– 99は2個ある
– 97は4個ある
– 以下同様に、すべての奇数は偶数個存在する

結論:奇数部分はすべて平方数になります。

3. 偶数の分析
– 100は1個ある
– 98は3個ある
– 96は5個ある
– 以下同様に、すべての偶数は奇数個存在する

ここで、各偶数を個別に考える必要があります:
– 100 = 2 × 50
– 98 = 2 × 49
– 96 = 2 × 48

– 4 = 2 × 2
– 2 = 2 × 1

4. 最終的な結論

左辺の積 = 右辺の積 = (2の50乗) × (50!)

(2の50乗)は偶数乗なので平方数になります。

5. 元の問題に戻る

最初の式では50!で割ることになっていました。この50!は、上記の結果の(50!)と相殺されます。

したがって、最終的な結果は:
(2の50乗) × 1 = 2の50乗

これは明らかに平方数です。

結論:
1! × 2! × 3! × … × 98! × 99! × 100! を 50! で割った数は、確かに平方数になります。

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