階段を1段または2段ずつ上る方法は何通りか

フィボナッチ数とは、1番目は「1」、2番目は「2」、3番目は「3」、4番目は「5」、5番目は「8」のように、1番目と2番目を足すと3番目、2番目と3番目を足すと4番目という関係になっている数です。
次のような面白い性質があります。

階段を1段または2段ずつ上る方法は何通りかを数えるとフィボナッチ数になる。

例えば3段の階段は「1段ずつ3回上る」「2段上って1段上る」「1段上って3段上る」の3通りがあります。
各段数の上がる方法を数えるとフィボナッチ数になるというのです。 (さらに…)

1から666までの和は222111

1から6までの和は21になります。
1から66までの和は2211になります。
このようにして「1」から「6が並んだ数」までの和を求めると次のようになります。

1+2+3+…+6=21
1+2+3+…+66=2211
1+2+3+…+666=222111
1+2+3+…+6666=22221111
1+2+3+…+66666=2222211111
1+2+3+…+666666=222222111111
1+2+3+…+6666666=22222221111111

「1」から「6がn個並んだ数」までの和「2がn個並んだ数」と「1がn個並んだ数」が並んだ数となります。
「1がn個並んだ数」を「f(n)」と表わすと

1+2+3+...+6*f(n)=2*f(n)*10^n+f(n)

と表わせます。
これを証明します。

まず、f(n)がnを使った式で表わせることを示します。
例えば
f(5)=11111=99999/9=(100000-1)/9
となることから分かるように
f(n)=(10^n-1)/9
と表わせます。

また、1からxまでの和が
(1+x)*x/2
となることから
左辺=(1+6*f(n)) * 6*f(n) /2
となります。

左辺-右辺を計算し、これがゼロになれば、左辺=右辺であることが分かります。

左辺-右辺
={(1+6*f(n))*6*f(n)/2}-{2*f(n)*10^n+f(n)}
=(1+6*f(n))*3*f(n)-2*f(n)*10^n-f(n)
=3*f(n)+18*f(n)^2-2*f(n)*10^n-f(n)
=2*f(n)+18*f(n)^2-2*f(n)*10^n
=2*f(n)*(1+9*f(n)-10^n)

ここで「f(n)=(10^n-1)/9」であることから
=2*f(n)*(1+9*(10^n-1)/9-10^n)
=2*f(n)*(1+10^n-1-10^n)
=2*f(n)*0
=0
すなわち左辺=右辺となります。


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