はじめに

このページでは管理人が実際に行って成功したダイエット法を紹介します。この方法で17キロの減量に成功しました。
管理人が実行したダイエットの柱は次の二つです。

• 体重をひんぱんに量る。
• 複数のダイエット法を実行する。

体重計

体重計を買う

体重は頻繁に量るようにします。「毎日」と考えると続かないので「思い付いたとき」として一日に何度でも量るようにした方が続きます。「毎日」だと、一日、量り忘れるともういやになってやめてしまいます。「思い付いたとき」とすれば、そもそも「一日一回量るんだ」と決め付けていないのでもし量り忘れた日があっても気にならないので続きます。
体重計はデジタルでできれば100グラム単位のものを買います。量販店で4000円くらいで買えます。私のダイエット法の中で一番お金がかかったのはこれです。あと何千円か足せば体脂肪計が買えますが、私はあまり当てにしていません。多分、正確に測れないはずです。体重計だけでいいと思います。体重が減れば体脂肪も減ります。体脂肪は年一回の健康診断のときに量れば十分だと思います。
また表示部分はなるべく大きいものがよいと思います。
私は液晶のものを買いましたが、これは暗いところだと少し見にくいです。もし暗いところに置くならば液晶でなくLEDなどの方がよいかもしれません。
もしデジタルのものでない場合は目分量で100グラムの単位まで読み取ります。「半分より少し多いから600グラム」というように適当でいいのです。こうしないと毎日、毎回の変化が分かりません。毎日の変化を見るのがダイエットのポイントです。

体重を記録する

体重は必ず記録しグラフにします。グラフにすることで体重の減りが実感でき、励みになって、ダイエットが続きます。
私は、体重をエクセルに入力していました。エクセルにデータを入力しておくとグラフにするのも簡単です。もしエクセルがあれば活用しない手はありません。
この入力の仕方ですが、普通はこんな風にするのではないでしょうか。

日付-体重、というように入れます。しかしこの入力の仕方だと先に書いたように「一日一回量るんだ」と決め付けるようなものです。だからこんな入力の仕方はしません。次のようにします。

とにかく思い付いたときに量るのですから日付だけでなく時刻を入れるのです。入力が少し面倒ですがこれが続けるコツです。
問題はいちいちパソコンを起動するのが面倒だということです。でも、こうやってインターネットを見ている人ならば一日に一回はパソコンを起動しているでしょう。できるはずです。
私は体重を毎朝量っていますが、外出前にいちいちパソコンを起動するわけにはいきません。体重を覚えておいて帰宅してから入力しています。忘れてしまうと困るので仕事先から自分あてにメールを入れておくこともあります。携帯電話でメールを送っておくのもよいでしょう。

体重の量り方

一度、服を着た状態と全裸の状態で体重を量ってみてください。トレーナーなどを着ていると差が1キロくらいになってしまうことがあると思います。体重を量る意味は、昨日と比べて今日の体重は増えたのか減ったのかを知ることにありますから、毎日、体重を量るときの服装はなるべく同じにする必要があります。一番よいのは全裸です。また食事の前、トイレのあとなどの条件も揃えます。
ただ、これもあまり気にしてしまうと、量るのが面倒になります。とにかく量ることが大事です。量るたびに違う服装であっても、それを毎日、記録して、グラフ化すると全体の傾向は分かります。これが大事だと思います。

体重計の置き場所

とにかく体重を量るのが目的ですから、体重計は目に付くところに置きます。最近はテレビで家のリフォームを取り上げることが多いですが、よく出てくるのが「動線」という言葉です。玄関から入って居間に行く。寝室からトイレに行く。この人間の動く線のことを「動線」というそうです。体重計はこの「動線」の上に置いてください。よく浴室(の外)に置いていますが、これは全裸の状態で量るのがベストだからです。しかし、これにこだわる必要はありません。量って記録することを考えると、寝室のベッドの脇でもよいのです。廊下にグラフを貼り付けているのならば、廊下でもよいのです。トイレに置いて、使用前、使用後の比較を楽しむのもよいでしょう。とにかく「動線」の上で自分にとってベストの場所を探すことです。

体重計の片付け方

体重計は片付けないでください。廊下でも床でも置きっぱなしにしておいてください。棚の上に置いたり、壁に立てかけたりしてはいけません。いちいち、置くのが面倒になり、量らなくなります。
ウォシュレットは座椅子にセンサーが付いていて体重がかからないと水が出ないようになっています。だったら体重も量ってくれればよいのに。

複合ダイエット

複合ダイエット

世の中にはダイエット法が数え切れないほどあります。どのダイエット法を選ぶかはなかなか切実な問題です。
私が薦めるのは一つのダイエット法にこだわらないことです。同時に複数のダイエット法を実施するのです。これを「複合ダイエット」と呼ぶことにします。これならば本当に効果があるのかどうか分からないダイエットにこだわって時間を無駄にすることが少なくなります。リンゴダイエットのように一つの食品を食べ続けるダイエットは成功するかどうか、やってみるまで分かりません。複合ダイエットならばいくつか同時に行ったダイエット法のうち、どれか一つが成功すればいいのです。また二つ以上のダイエット法が成功すれば効果倍増です。

私のダイエット法

私は複合ダイエットで成功しました。同時にいくつものダイエットを実行したのです。だからどれが本当に効果があったのか分かりませんが成功したのは確かです。
メインに考えたのは低インシュリンダイエットです。これは、別のところで詳しく説明しますが、基本的には食べてもよいダイエットです。これならば他のダイエット法と併用しても問題ありません。

• 低インシュリンダイエット
• ゴーヤ茶ダイエット
• キムチダイエット
• そばダイエット

これらを同時に行いました。

低インシュリンダイエット

太る原因は食事の後、血糖値が上がることにあるという考え方があります。これを上がらないようにするためにはゆっくり食事をすることです。そして血糖値の上がりにくい食品を食べることです。これを低GI食品といいます。反対に血糖値の上がりやすい食品を高GI食品といいます。低GI食品を選んで食べればよいわけです。
具体的に挙げると、まず主食ですが、うどん、パン、ご飯は高GIです。スパゲッティはやや低GIです。そばはさらに低GIです。一番、低いのは春雨です。
野菜では、トウモロコシ、ジャガイモ、ニンジンが高GIです。ハンバーグステーキの添え物がダメだということです。あとはほとんどが低GIですので大丈夫です。
またすりつぶしてあるものは吸収がよいので、血糖値が上がりやすいようです。コーンポタージュスープ、カボチャのスープなどは良くありません。
詳しくはGI値一覧を見て下さい。

ゴーヤ茶ダイエット

ゴーヤはダイエットに効果があるのですが、実は、いつも捨ててしまうタネの部分がもっとも役に立つのだそうです。これを効果的に取るためにはお茶にして飲むのがよいのです。ゴーヤ茶は薬局などで探すと売っているかもしれません。

キムチダイエット

キムチに含まれるカプサイシンがダイエットに効果的です。新陳代謝を良くします。

そばダイエット

ダイエットにとって、ご飯、パンなどの「主食」が悪い影響を与えます。かといって食べないわけにはいきません。そんなとき、そばがよいのです。夏、そうめんや冷や麦を食べる人は、そばに替えてみてはどうでしょうか。シマダヤの「流水麺」ならば作るのが簡単ですので、続けられます。本当は一年中食べたいところですが、秋、冬は売られていないのが難点です。

実際の様子

私の1日のメニュー

実際に私が実行したダイエットのメニューを紹介します。

朝

朝は、玄米フレークに牛乳をかけて食べます。元々、私は朝食を食べる習慣がなかったのですが、ダイエットは三食を規則正しく摂るのがよいといわれているので、食べるようにしました。

昼

昼はカロリーメイトとワカメスープです。
ダイエットの最大の敵は昼食だと思います。言い換えると、ダイエットの敵は他人です。昼食は他人と一緒に食べることが多いため、つい自分のペースが分からなくなり、多く食べてしまいがちです。本当にダイエットを成功させたければ、友人達と一緒に昼食を摂らないことです。それもできないというのであれば自分で昼食を用意していくことです。

夜

夜は、そばにキムチをのせて食べます。そばダイエットとキムチダイエットの併用です。あとはサラダなど。低インシュリンダイエットでは肉は食べても問題はないのですが、つい食べ過ぎてしまうので、サラダなどを意識して多めに食べるようにします。
外食は避けます。飲酒も絶対に避けます。飲酒そのものは問題ないのですが、やはり飲むとつい食べ過ぎてしまいます。

ある1か月間のメニュー

2003年4月の私の実際のメニューを紹介します。

体重の推移

平成15(2003)年4月からの1か月ごとの管理人の体重の推移を紹介します。

痩せて困ったこと

痩せると困ることもあります。

• 固い椅子に座るとお尻が痛い。(お尻の肉というか、皮が薄くなっているのでしょう)
• スーツがだぶだぶで格好が悪い。(かと言って、まだ痩せるつもりですので買えません)
• メガネがゆるくなった。(顔の皮が薄くなったのか、メガネのつるの顔をはさむ力がなくなったような気がします。そもそも顔をはさんでいるという感覚が太っていたからなのか。頬がレンズの下に当たることはなくなりました)
• ベルトを切らなくてはならない。(太っているときはベルトの長さが足りず、スーパーのワゴンセールのベルトでは役に立たないことがあったのですが、今は逆に短すぎて、切って使っています。)
• パンツのゴムがゆるい。(ゴムがゆるくなったのか、胴回りが細くなったのか、分かりませんが、とにかく買い換えが必要でした)

心理ゲーム

JavaScriptを使って昔、流行った「心理ゲーム」を作ったようです。あまりに酷いコードですがそのままアップします。

2018年9月8日追記
多少、手直しをして、レスポンシブにしました。

ブックセンターあずま三山店

説明

ブックセンターあずまの三山店。おそらく、ここが本店である。
メンバーズカードは「300円お買い上げごとに1スタンプ。スタンプ40ヶで1,000円分の本と交換します。※現金との交換は致しません。」とのこと。このカードは全店共通。

講評

花園の「あずま」同様、漫画の品揃えが豊富。
しかし、規模はやはり花園店の方が大きい。

場所

京成実籾駅の東側の踏切りを三山方面(北向き)に進むと道の左側にある。あるいは作新台の岡島電器を右手に、ビックリドンキーを左手に見て、通称マラソン道路を大久保方面に向かうと左に大きくカーブする地点がある。この交差点にある。右にミニストップがあるのがポイント。少し奥まったところにあるのでうっかりすると見落とす。また、駐車場があるが、角地なので、入れにくいし、出しにくい。向かいに中華料理屋あり。

データ

船橋市三山9-5-15
営業時間10:00～23:00 年中無休

ブックセンターあずま花園店

説明

今のところ、ここより大きい古本屋は千葉市内には発見されていない。プレハブの巨大な倉庫に、かなり高い書架が置かれ、漫画を中心として、びっしりと在庫がある。
漫画は出版社別になっていて、バラは書架に、セットは書架の上に積まれている。
小説は、文庫と新書が別の列に、それぞれアイウエオ順で並べられている。歴史小説、時代小説は、一つのコーナーにまとめられている。海外小説は出版社別。ハーレクインが充実(誰が買うか)。

講評

とにかく、漫画の品揃えが豊富。あえて難点を挙げれば、あまり安くないこと。「5冊100円！」のような投げ売りもしない。そのかわり、本の保存状態は良い。古本屋としてのプライドがうかがえる。
出入り口に万引き防止用のセンサーがあり、壁には「コンピューター管理しています」という文字。漫画本をどうコンピューターで管理して万引きセンサーに引っかけようというのだろう。
駐車場がある。

場所

京成検見川駅の西側の踏切りを北に向かう。スリーエイトというコンビニエンスストアを右手に見てずっと進むと、右手に巨大な倉庫が見える。そこがブックセンターあずま。花見川区役所の方からだと、大賀ハス通りを京成検見川駅方面に向かえば、道の左側にある。

データ

千葉市花見川区花園町3-16-6
営業時間10:00～23:00 年中無休

ブックオフ東千葉店

説明

最近、チェーン展開をしている古本屋。国道16号線の市原の辺りにもある。中古CDも取り扱っている。
メンバーズカードを作ると、入会金を取られる。買い物をすると、1割のポイントが付き、次回、割り引いてくれる。そもそも古本は安いので、あまりポイントは溜まらない。全店共通。
文庫は、100円コーナーと通常コーナーに分かれている。100円コーナーの品は特に汚れているわけでもないので、お得。通常コーナーの値段は定価の半分が相場。品揃えは、よくない。
カウンターの後ろが広く、棚に載せる前段階の作業がそこで行われている。通常の古本屋もカウンターの後ろが作業場になっていることが多いが、ここはかなりあからさま。専用の買い取りカウンターがある。

講評

店に入ると、店員が一斉に「いらっしゃいませ」といって迎える。本を探していると、突然、背後で作業をしていた店員が大声で「いらっしゃいませ」などと言うので、少しビックリする。雰囲気はかなり明るい。
ブックセンターあずまと同じく、漫画の品揃えが豊富。カバーが掛けられていないので、立ち読みができる。そのため、子供がたくさんいて、不快。古本屋は子供の遊び場ではない。この点では、古本屋は陰鬱であるべきだ。
しかし、BGMが洋楽(しかも80年代)なのが良い。

場所

西千葉の辺りから行くならば、モノレールの道から、スカイラークガーデンの脇の道を入り、突き当たりまで行き、右折。しばらく走ると右側にある。「BOOK OFF」という黄色い看板が目印。片側2車線だが、入るのは楽だろう。

ヴィレッジヴァンガードエムワン

説明

1998年3月13日にオープンしたらしい変な本屋。古本屋ではない。
オープン時のチラシによれば、

13日金曜仏滅オープン！ジェイソン登場か？
ヴィレッジヴァンガードは本と雑貨とサブカルチャーのなんでもアリのブックショップです。

いわゆるベストセラーは置いていない。あくまでも店の趣味の本が売られている。画集、写真集、音楽の本、車の本、映画の本、緊縛の本、心理学の本、冒険の本。本だけでなく、人形やお香、海外のグッズなども。
店に流れる音楽はジャズ。

講評

マニアックな人には堪らない店であろう。本を買う気がなくてもかなり楽しめる店。
しかし、オーナーの道楽としか思えない。すぐにつぶれると見た。気に入った本やグッズがあれば、早めに購入しておくべし。
その後、下北沢に行ったときに同じ店(店名もロゴも同じ)を発見した。チェーン店か？

場所

場所が分かりにくい。穴川からオートウェーブに向かう道を突き進むと、左にジョナサンが見えるがさらに直進。左にヤマト運輸のある交差点をさらに直進。本当に直進してしまうと、花見川団地に行ってしまうので、すぐ次の信号を右に。しばらく行くと右側に、駐車場付の倉庫のような本屋がある。これがそれ。左に行くと花島観音に行く交差点まで行ってしまうと行き過ぎ。ガスタンクは尚更。柏井浄水場まで行ってしまうと手遅れ。

データ

〒262-0013
千葉市花見川区犢橋町1627
営業時間10:00～23:00 年中無休
なお、アルバイト募集中とのこと

• a₁=1
• a₂=3
• a₃=7
• a₄=13

a_nを、nを使った式で表すことができればよい。

• b_n=a_n+1-a_n

とする。隣り合った数の差を調べるのである。

• b₁=2
• b₂=4
• b₃=6
• b₄=8

b_nが次のように表されることはすぐ分かるだろう。

• b_n=2n

b₁からb_nまでの和を計算すると、

• Σb_k=2Σk=2*(n*(n+1)/2)=n*(n+1)

となる(「n項までの和を求める」を参照)。一方、

• b₁=a₂-a₁
• b₂=a₃-a₂
• b₃=a₄-a₃
• b_n=a_n+1-a_n

としたときの右辺の和を計算すると、

• a_n+1-a₁=a_n+1-1

となる。つまり、

• a_n+1=n*(n+1)+1

したがって、

• a_n=(n-1)*n+1
• a_n=n²-n+1

となる。

次の問題。

• a₁=1
• a₂=3
• a₃=7
• a₄=15
• a₅=31

• b_n=a_n+1-a_n

とすると、

• b₁=2
• b₂=4
• b₃=8
• b₄=16

となるので、

• b_n=2ⁿ

となることは明らか。b₁からb_nまでの和を計算すると、

• Σb_k=Σ2^k=2ⁿ⁺¹-2

となる(「2のn乗までの和」を参照)。一方、

• b₁=a₂-a₁
• b₂=a₃-a₂
• b₃=a₄-a₃
• b_n=a_n+1-a_n

としたときの右辺の和を計算すると、

• Σb_k=a_n+1-a₁=a_n+1-1

したがって、

• a_n+1-1=2ⁿ⁺¹-2
• a_n+1=2ⁿ⁺¹-2+1
• a_n+1=2ⁿ⁺¹-1
• a_n=2ⁿ-1

この3枚の円盤を別の棒に移し替えたいのだが、ルールがある。

• 棒から棒に動かす。
• 一度に動かせるのは1枚だけ。
• 下の円盤より大きな円盤を載せてはいけない。

さて、どうすればよいか。

円盤が3枚のとき、最短の作業回数は7回である。
棒は3本のまま、円盤を1枚増やし、4枚とすると、作業回数は15回となる。
一般に、円盤がn枚のときには、2ⁿ-1回の作業が必要である。

さて、これを証明してみよう。ここで、数学的帰納法を使う。

n=1が成立することを示す

まず、n=1のとき成立することを示す。
円盤1枚を別の棒に刺すだけだから、作業回数は1回。n=1のとき、2ⁿ-1=1である。よって示せた。

n=kが成立すると仮定し、n=k+1が成立することを示す

次に、n=kのとき成立すると仮定する。
今、円盤が位置Aにk+1枚ある。これを位置Cに移したい。
まず、上からk枚を位置Bに移す。n=kのとき成立しているのだから、ここまでの作業回数は2^k-1回。
一番下のk+1枚目を位置Cに移す。この作業回数が1回。
位置Bにあるk枚を位置Cのk+1枚目の上に移すのは、位置Aから位置Bにk枚を移動させたのと同じことだから、ここでの作業回数は2^k-1回。
これらの一連の作業回数は2^k-1+1+2^k-1=2^k+2^k-1=2*2^k-1=2^k+1-1
つまりk+1枚を移すのに2^k+1-1回の作業が必要であった。
言い換えると「n=k+1のときに2ⁿ-1回の作業が必要である」ということが正しいことが示された。

解法

では3力士の力量が同じと仮定すると（つまり勝つ確率がそれぞれ2分の1）誰が最も勝ちやすいか。

Ａ、Ｂ、Ｃの三人がいるとし、最初はＡとＢが対戦、その勝者とＢが対戦することにする。このときＡとＢの勝つ確率が同じことは明らかであるのでＣの勝つ確率を計算すればよい。なぜならＣの優勝する確率をpとするとＡの勝つ確率は(1-p)/2で容易に計算出来るからだ。

ＡとＢが対戦しＡが勝ったとき、次のＡとＣの対戦でＣは勝たなくてはならない。そして次のＣとＢの対戦でＣが勝てばＣの優勝が決まる。ここまで3試合あったのでここでＣの優勝する確率は(1/2)³である。

ところがＢが勝ってしまったとき、次にＣが勝つチャンスが巡ってくるのは3試合後。ここで優勝する確率は(1/2)⁶。

これを繰り返すと3試合毎にチャンスがまわってくることが分かるので、その確率はそれぞれ(1/2)⁹、(1/2)¹²、…、という具合になる。つまり初項1/8、公比1/8の無限等比級数を計算すればよいことになり、これは1/7となる。

初めのＡとＢの対戦でＢが勝ったときも同じ結果になるのでＣが優勝する確率は2/7となり、ＡとＢが勝つ確率はそれぞれ5/14となる。

立方体は、正方形(正四角形)が6面、組み合わさってできる立体、正6面体である。正三角形が4面、組み合わさってできる立体は正4面体である。この正4面体を2個用意して、ある面同士を貼り合わせると、どの面も正三角形であるという立体ができるが、これは正多面体とは呼ばない。辺が3本集まる頂点と、辺が4本集まる頂点があるからである。

さて、この正多面体は何種類あるだろうか。

正三角形がいくつも組み合わされば、何種類でもできそうな感じもするが、実はそうではない。

次の表は、正多角形の内角を表している。なお、正七角形の内角は端数を四捨五入している。

正多面体の一つの頂点には正多角形がいくつか集まっている。たとえば、正六面体(立方体)ならば、正四角形(正方形)が4個集まっている。3個以上集まらないと立体にならないことは明らかである。

また、正多角形を組み合わせたときに360度未満でないと立体にならない。正三角形ならば5個以下、正四角形ならば3個以下、正五角形も3個以下でないと立体にならない。正六角形ならば3個以上集まってしまうと360度以上になってしまうため、これは立体にならない。正七角形も正八角形も、それより角の多い正多角形では正多面体は作れないことが分かる。

つまり、次の5パターンでしか、正多面体は作れないことが分かる。これが答えである。

• 正三角形-3個
• 正三角形-4個
• 正三角形-5個
• 正四角形-3個
• 正五角形-3個

実際、何面の組み合わせになるかは次の通りである。

正4面体は容易に想像できるだろう。正6面体はさいころの形である。正8面体は、ピラミッド(底が正方形)2個の底同士を貼り合わせた形である。

正12面体は想像しにくい。床に正五角形をおく。同じ大きさの正五角形を5個用意して、床においた正五角形の5辺と、それぞれの正五角形の1辺を貼り合わせる。そして次に隣の辺同士を貼り合わせると、それぞれの面が正五角形が6個集まった皿のような立体ができる。この立体を2個用意して、上下で組み合わせた立体が正12面体である。

正20面体はさらに想像しにくい。まず、正三角形のそれぞれの頂点を直線で切り落として正六角形を作ることができる、ということを頭に入れておく。さて、正20面体の身近な例は、サッカーボールである。これは正五角形と正六角形が組み合わさってできている。実は、正20面体のすべての面(正三角形)の頂点を切り落とした立体なのだ。面が5個集まった頂点を切り落とすとそこには五角形ができるだろう。そして元々、正三角形だった面は、正六角形になる。つまり、サッカーボールには20枚の六角形がある。五角形がいくつあるかは、次の通り。

正20面体の辺は何本あるか、とまず考える。正三角形が20個集まってできたのだから、3*20=60。2辺が組み合わさって1辺となるのだから、この半分で、辺の数は30本。正20面体は一つの頂点に正三角形が5個集まっているのだから、辺の数も5本。したがって、頂点は6個ある。ここを切り落とすのだから、正五角形は6個ということが分かる。さあ、正しいかどうか、ジーコに訊いてみてくれ。

これを利用して、
Σ2^k=2+4+8+16+…+2ⁿ
がどうなるかを調べたい。これはいわゆる等比級数のようだが、初項2、等比2と考えてしまうと少し違う。

初項2、等比2の等比級数は
2+2*2+2*2²+…+2*2^n-1+2*2ⁿ=2+4+8+ +2ⁿ+2ⁿ⁺¹

最後の「+2ⁿ⁺¹」が余分である。

一方、公式を使うと初項2、等比2の等比級数は2*(1-2ⁿ⁺¹)/(1-2)=2*(2ⁿ⁺¹-1)となる。
したがって、2+4+8+…+2ⁿ+2ⁿ⁺¹=2*(2ⁿ⁺¹-1)

余分な「+2ⁿ⁺¹」を右辺に移項すると、
2+4+8+…+2ⁿ=2*(2ⁿ⁺¹-1)-2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2

よって、Σ2^k=2ⁿ⁺¹-2

ところで、1+2+3+…+nは実際、どんな式で表されるだろう。
S=1+2+3+…+nとする。普通、こういうときは、Sを使う。なぜかというと、sumに合計という意味があるからだ。

さて、1+2+3も3+2+1も同じになるので、次のように計算することができる。
S= 1 + 2 + 3 + … + n-2 + n-1 + n
S= n + n-1 + n-2 + … + 3 + 2 + 1

両辺同士を足し合わせると、
2S = 1+n + 2+n-1 + 3+n-2 + … + n+1 = 1+n + 1+n + 1+n + … + 1+n

右辺は1+nがn個集まっている。つまり右辺=(1+n)*n=n(n+1)
したがって、S=n(n+1)/2
たとえば1から10までの数の和を知りたければ、この式のnに10を代入すればよい。10*(10+1)/2=55となる。
1から100までの数の和は、100*(100+1)/2=5050となる。くれぐれも550ではないことに注意。

さて、こんな問題がある。
1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6を示せ。

証明は次の通りである。
(1+k)³=1+3k+3k²+k³である。このkに1からnまで代入してみると

左辺と次の段の右辺第4項が等しいので消しあうことに注意。
Σk=n(n+1)/2は既知のものとして変形すると
3Σk²=(1+n)³-n-3n(n+1)/2-1
簡単のため両辺に2をかけると

よって示された。

もしΣk³ がどうなるかを求めたければ(1+n)⁴を計算して上と同様な方法を使えばよい。

一般に、この方法を用いれば次数がどんなに大きな整数であっても帰納的にその和を求めることができる。