問題
海外の数学の問題で、次のような方程式を見かけました。
(x2−5x+5)(x2−11x+30) = 1
「x2−5x+5」を「x2−11x+30」乗すると1になる、という方程式です。xを求めます。
一見複雑な式ですが、「何かを何乗かして1になる」のはどんなときかを整理すると解けます。答えも美しい形になります。
累乗が1になる3つの場合
ab = 1 となるのは、次の3つの場合です。
- 底aが1のとき(指数bは何でもよい)
- 指数bが0のとき(ただし底aは0以外)
- 底aが−1で、指数bが偶数のとき
3つ目は見落とされやすいため、注意が必要です。それぞれの場合について調べます。
（場合1）底が1のとき
x2−5x+5 = 1 を解くと、x2−5x+4 = 0 となり、(x−1)(x−4) = 0 に因数分解できます。
よって x = 1, 4 です。底が1であれば何乗しても1になるため、この2つは解になります。
（場合2）指数が0のとき
x2−11x+30 = 0 を解くと、(x−5)(x−6) = 0 に因数分解できます。
よって x = 5, 6 です。ただし、0の0乗は定義されないため、底が0になっていないかを確認する必要があります。x = 5 のとき底は 25−25+5 = 5、x = 6 のとき底は 36−30+5 = 11 となり、どちらも0ではないため、この2つも解になります。
（場合3）底が−1で指数が偶数のとき
この場合が最も見落とされやすいところです。(−1)2 = 1 のように、−1も偶数乗すれば1になります。
x2−5x+5 = −1 を解くと、x2−5x+6 = 0 となり、(x−2)(x−3) = 0 に因数分解できます。
よって x = 2, 3 です。次に、指数が偶数になっているかを確認します。
- x = 2 のとき、指数は 4−22+30 = 12 で偶数です
- x = 3 のとき、指数は 9−33+30 = 6 で偶数です
どちらも偶数のため、この2つも解になります。
答え
以上をまとめると、答えは次の通りです。
x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
1から6までの連続する整数がすべて解になるという、とてもきれいな結果になっています。
まとめ
累乗が1になる方程式では、次の3つの場合分けがポイントになります。
- 底が1のとき
- 指数が0のとき(底は0以外)
- 底が−1かつ指数が偶数のとき
特に「底が−1」の場合は忘れられがちです。この問題でそこを見落とすと、x = 2, 3 が抜けてしまい、答えが不完全なものになります。場合分けを丁寧に行うことが大切です。
コメント