199²+199+200という式の計算方法を説明する動画を見かけました。
簡単な計算方法
次のように式を変形すると、大きなかけ算を1回するだけで答えが出ます。
199²+199+200 = 199(199+1)+200 = 199×200+200 = (199+1)×200 = 200×200 = 40000
ポイントは、199²と199をまとめて199×200という形に整理してしまうところです。残った+200と合わせると、200×200というきれいな形になります。
図で見ると200×200になる理由が分かる
この式変形は、図形にすると直感的に理解できます。
図の左上にある大きな正方形が199×199の部分です。その下にある細長い長方形が199×1で、正方形と合わせると199×200の長方形になります。さらに右側に1×200の細長い長方形を足すと、全体がちょうど200×200の正方形になります。図の中の1の部分は本来ごく細い幅ですが、見やすいように太く描いています。
199²+199+200という式は、199×199の正方形に199×1の長方形と1×200の長方形を足して200×200の正方形を作っている、というのがこの図の意味です。
まとめ
筆算でそのまま計算したり、xに置き換えて展開したりしなくても、199×200という形に整理するだけで暗算できます。大きい数の計算に出会ったときは、近い切りのいい数（今回であれば200）に寄せられないか考えると、計算が一気に楽になります。
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