問題
次のような二つの計算があります。一つ目は「1=2/(3-1)=2/(3-2/(3-1))=…」というもので、1を代入すると自分自身に戻ってきます。二つ目は「2=2/(3-2)=2/(3-2/(3-2))=…」というもので、2を代入した場合も同じく自分自身に戻ってきます。
この二つの計算がどちらも成り立つように見えるのはなぜか。
両方の計算に計算ミスはない
まず結論から述べると、この二つの計算そのものに算数上の間違いはありません。理由は単純で、「x=2/(3-x)」という方程式を解くと、解が二つ出てくるからです。
「x=2/(3-x)」の両辺に「3-x」をかけると「x(3-x)=2」となります。これを展開すると「3x-x^2=2」となり、整理すると「x^2-3x+2=0」という二次方程式になります。この式は「(x-1)(x-2)=0」と因数分解できるため、解はx=1とx=2の二つです。
つまり1を代入しても2を代入しても方程式が成り立つのは当然のことであり、それぞれの計算は単に「自分が方程式の解であること」を確認しているだけです。
本当の問題はどこにあるか
問題は、この二つの計算結果から「元の入れ子の式は1でもあり2でもある」と結論してしまうと、1=2という矛盾が生まれてしまう点です。
この矛盾が生じる原因は計算そのものではなく、次のような暗黙の前提にあります。「ある数xが、x=2/(3-x)を満たすなら、xは元の入れ子の式の値である」という前提です。
これは誤りです。正しくは、方程式を満たすことは値の候補であるための必要条件にすぎず、十分条件ではありません。1も2もこの方程式を満たすという意味では対等ですが、実際にどちらが元の式の値なのかは、方程式を解くだけでは決まらないのです。
元の式の値を数列の極限として定義する
元の入れ子の式は、本来「有限の段数の計算を無限に深くしていったときの極限」として定義されるべきものです。そこで数列を次のように定義します。「a(1)=2/3」、「a(n+1)=2/(3-a(n))」です。この数列が実際にどの値に近づいていくかを、以下で厳密に調べます。
補題1 すべてのnで0
数学的帰納法で証明します。
n=1のとき、「a(1)=2/3」であり「0<2/3<1」なので成り立ちます。
n=kのとき「0 差「a(n+1)-a(n)」を計算します。「2/(3-a(n))-a(n)」を通分すると「(2-a(n)(3-a(n)))/(3-a(n))」となり、分子を展開すると「(a(n)^2-3a(n)+2)/(3-a(n))」、これを因数分解すると「(a(n)-1)(a(n)-2)/(3-a(n))」となります。 補題1より「a(n)」は0と1の間にあるため、「a(n)-1」は負、「a(n)-2」も負であり、負×負で分子は正になります。分母の「3-a(n)」も正であるため、「a(n+1)-a(n)」は正となり、この数列は単調増加であることが分かります。 数列が単調増加であり、かつ補題1により1という上界を持つことから、有界単調数列の収束定理により、この数列はある値Lに収束します。さらに補題1の結果から、Lは1以下でなければなりません。 漸化式「a(n+1)=2/(3-a(n))」の両辺でnを無限大に近づけると、「L=2/(3-L)」という関係が得られます。これは先ほど解いた方程式と同じものであり、解は「L=1」または「L=2」です。 しかし収束の議論によりLは1以下と分かっているため、「L=2」は成り立たず、結論として L=1 が導かれます。 今回の問題を整理すると、次のようになります。 元の入れ子の式が実際に表している値は1であり、2という数はこの式の本当の値ではなく、方程式を解く過程で紛れ込んだ、もう一つの不動点にすぎないという結論になります。収束することの確認
極限値の決定
まとめ 間違いはどこにあったか
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