次のような計算問題がありました。
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
8つの奇数を足す問題です。順番に足していけば答えは出ますが、もっと楽に解く方法はないでしょうか。
代数で解く
これは等差数列の和の公式で求められます。初項 1、末項 15、項数 8 なので、
和 = 8 × (1 + 15) / 2 = 8 × 8 = 64
答えは 64 です。公式を知っていれば解けますが、公式を忘れたときや、そもそも公式をまだ知らないときはどうすればよいでしょうか。
図形で解く
次の図を見てください。左上の1マスから始めて、右と下にL字形のマスを順に追加していきます。
左上の1マスに3マスのL字を右と下に加えると 2×2、さらに5マスのL字を加えると 3×3、7マスを加えると 4×4 になります。奇数を1つ足すたびに、形は正方形のまま1辺が1つ大きくなるだけです。
元の問題は奇数を8個足しています。つまり 8×8 の正方形のマス数を数えればよい。
8 × 8 = 64
答えは 64 です。
気づいたこと
図形で解いてみると、あることに気づきます。1個、2個、3個……と途中で打ち切っても、結果は常に正方形の面積です。
- 1 = 1×1
- 1 + 3 = 2×2
- 1 + 3 + 5 = 3×3
- 1 + 3 + 5 + 7 = 4×4
1から始まる奇数をn個足すと、答えは必ず n² になります。
代数で解いたときには気づかなかったことが、図形にした途端に見えてきました。公式を導く道具として図を使ったつもりが、図の方が答え以上のことを教えてくれた、ということです。
図形の力
数学の問題は、式だけで考えると遠回りになることがあります。同じ問題でも、図に置き換えた瞬間に答えが見える、ということが珍しくありません。
今回の問題で言えば、公式を知らなくても、L字という単純な形を思い浮かべるだけで答えが出ました。そしてその図は、答えだけでなく、奥にある法則まで見せてくれました。
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