nの階乗で0が15個続く最小のn

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先日、ビートたけしの「コマ大」でこんな問題がありました。

n!(nの階乗)で末尾の0が15個続く最小のnを求めよ

最初に末尾に0が出てくるのは次の場合。
5!=1 * 2 * 3 * 2*2 * 5 =120
つまり「素因数分解したときに2と5が一組出てくる度に10倍となって末尾に0が付く」と考えられます。
2と5だと5の方が少ないですから5が出てくる回数を数えればよいことになります。

5!=4!*5=24*5=120
10!=9!*10=362880*10=1814400
15!=14!*15=87178291200*15=1307674368000

このように5の倍数の階乗を求めるときに末尾の0が一つ増えます。

25と50のときは5が2回、出てくる(一気に2個増える)ことに注意して順番に数えると次のようになります。

0の個数 n
1 5
2 10
3 15
4 20
6 25
7 30
8 35
9 40
10 45
12 50
13 55
14 60
15 65

最後に65!までのそれそれの計算結果を挙げておきます。

1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120 ※1個
6!=720
7!=5040
8!=40320
9!=362880
10!=3628800 ※2個
11!=39916800
12!=479001600
13!=6227020800
14!=87178291200
15!=1307674368000 ※3個
16!=20922789888000
17!=355687428096000
18!=6402373705728000
19!=121645100408832000
20!=2432902008176640000 ※4個
21!=51090942171709440000
22!=1124000727777607680000
23!=25852016738884976640000
24!=620448401733239439360000
25!=15511210043330985984000000 ※6個
26!=403291461126605635584000000
27!=10888869450418352160768000000
28!=304888344611713860501504000000
29!=8841761993739701954543616000000
30!=265252859812191058636308480000000 ※7個
31!=8222838654177922817725562880000000
32!=263130836933693530167218012160000000
33!=8683317618811886495518194401280000000
34!=295232799039604140847618609643520000000
35!=10333147966386144929666651337523200000000 ※8個
36!=371993326789901217467999448150835200000000
37!=13763753091226345046315979581580902400000000
38!=523022617466601111760007224100074291200000000
39!=20397882081197443358640281739902897356800000000
40!=815915283247897734345611269596115894272000000000 ※9個
41!=33452526613163807108170062053440751665152000000000
42!=1405006117752879898543142606244511569936384000000000
43!=60415263063373835637355132068513997507264512000000000
44!=2658271574788448768043625811014615890319638528000000000
45!=119622220865480194561963161495657715064383733760000000000 ※10個
46!=5502622159812088949850305428800254892961651752960000000000
47!=258623241511168180642964355153611979969197632389120000000000
48!=12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000
49!=608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000
50!=30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000 ※12個
51!=1551118753287382280224243016469303211063259720016986112000000000000
52!=80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000
53!=4274883284060025564298013753389399649690343788366813724672000000000000
54!=230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000
55!=12696403353658275925965100847566516959580321051449436762275840000000000000 ※13個
56!=710998587804863451854045647463724949736497978881168458687447040000000000000
57!=40526919504877216755680601905432322134980384796226602145184481280000000000000
58!=2350561331282878571829474910515074683828862318181142924420699914240000000000000
59!=138683118545689835737939019720389406345902876772687432540821294940160000000000000
60!=8320987112741390144276341183223364380754172606361245952449277696409600000000000000 ※14個
61!=507580213877224798800856812176625227226004528988036003099405939480985600000000000000
62!=31469973260387937525653122354950764088012280797258232192163168247821107200000000000000
63!=1982608315404440064116146708361898137544773690227268628106279599612729753600000000000000
64!=126886932185884164103433389335161480802865516174545192198801894375214704230400000000000000
65!=8247650592082470666723170306785496252186258551345437492922123134388955774976000000000000000 ※15個

[ 2011年10月3日 | カテゴリー: 豆知識 | タグ: , , ]

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