正方形の数を数える
同じ大きさの正方形が縦に4個、横に3個並んでいます。
この中に正方形は何個あるでしょうか。
1辺が1(面積1)の正方形
縦に4個、横に3個あるので、4*3=12
1辺が2(面積4)の正方形
縦に3個、横に2個あるので、3*2=6
1辺が3(面積9)の正方形
縦に2個、横に1個あるので、2*1=2
合計で12+6+2=20
答 20個
一般化してみます。
1辺が1の正方形が、縦にx個、横にy個並んでいるとします。x≧yとします。
N=x*y+(x-1)*(y-1)+(x-2)*(y-2)+…+(x-y+1)*1
解法は省略しますが、さらに次のように書けます。
N=x*(y^2+y)/2-(y^3-y)/6=y*(y+1)*(3x-y+1)/6
次はその一覧です。
| 縦(x)＼横(y) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 2 | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 |
| 3 | 3 | 8 | 14 | 20 | 26 | 32 |
| 4 | 4 | 11 | 20 | 30 | 40 | 50 |
| 5 | 5 | 14 | 26 | 40 | 55 | 70 |
| 6 | 6 | 17 | 32 | 50 | 70 | 91 |
| 7 | 7 | 20 | 38 | 60 | 85 | 112 |
| 8 | 8 | 23 | 44 | 70 | 100 | 133 |
| 9 | 9 | 26 | 50 | 80 | 115 | 154 |
| 10 | 10 | 29 | 56 | 90 | 130 | 175 |
[ 2010年9月27日 | カテゴリー: 小ネタ | タグ: 数学 , 正方形 ]
« 1億円の金塊の大きさ | Excelで連立方程式を解く »
最後の式ですが
N=x*(y^2+y)/2-(y^3-y)/6=y*(y+1)*(3x-y+1)/6
ではないでしょうか？